新思路·新课改

　　刘勋

　　2008年江西(理)22题第2问是一道奥赛题的演变题，难度很大，不少学生看了标准答案甚至直挠头说“看不懂”；有的学生虽说能顺下来，“看得懂”，但那么复杂的式子是怎么想出来，怎么“凑出来”的，仍觉得云雾山中。我们在重新编写2008年高考数学解题研究与高考点拨评析一书时，在全国征集了不少名师的解答，他们一致认为这是2008年最难的题之一。对专门研究数学的人来说，看答案后真是“精思妙解能开悟”，他们或是在不等式上玩出高深技巧，或是命题转换，或是巧妙地运用变量代换，或是借用导数工具……这些解法共同特点是没有相当的数学素养，只能是“可望而不可即”。有没有大多数学生能摸、能做、能得分的“基本法”呢？有！我用分类讨论的方法得到了满意结果。下面介绍分类讨论的解法：

　　例2(2008年江西理22，14分)，已知函数f(x)=-+-+-，x∈(0，+∞)

　　(Ⅰ)当a=8时，求f(x)的单调区间；

　　(Ⅱ)对任意正数a，证明1

　　证明：

　　(Ⅰ)(略)

　　(Ⅱ)先证f(x)>1，∵x>0,a>0.

　　∴0<-<1，0<-<1，0<-=1--<1

　　∴-<-，-<-，-<-

　　∴f(x)>-+-+1--

　　=1+-

　　设y1=ax(a+x-6)+8,

　　1)显然当a＋x≥6时，y1>0，∴f(x)>1

　　2)当0

　　设t=-，则y1=f1(t)≥t2(2t-6)+8=2t3-6t2+8

　　y1'=6t2-12t=0,t=2或t=0(舍) 说明y'即导数

　　t>2时y1'>0,t<2时，y1'<0， ∴t=2时，y'小=22(4-6)+8=0

　　∴y1≥0，故01

　　综合1)、2)，∴对任意正数a，f(x)>1对x∈(0，+∞)成立。

　　再证f(x)<2

　　观察f(x)知：x,a在f(x)中是对称的(可交换)，不妨设0

　　①当3≤a≤x时，∵0<-<1，∴f(x)<-+-+1=2

　　②当0

　　∵(-)2=-=1--<(1--)2 ∴-<1--

　　同理-<1---<1--

　　∴-+-<2--(-+-)

　　故此，要证f(x)<2，只需证：-(-+-)≥-

　　∵-(-+-)≥-

　　∴只需证：-≥- ……·即可